Návrh skromného výskumu pre výučbu matematiky

Bolo napísaných mnoho tisíc alebo možno milióny slov v prospech prístupu „späť k základom“ vo výučbe matematiky alebo v prospech viac „konštruktivistických“ prístupov. Táto rozprava je polarizovaná, politická a niekedy začarovaná, je to však nevyhnutná. Táto diskusia sa odohráva v neustálom tlaku a ťahu medzi minulými kurikulárnymi prístupmi (čo fungovalo? Čo nefungovalo?) A potrebou ich neustále obnovovať, keď sa posúvame do budúcnosti.

Pre učiteľov matematiky táto diskusia nikdy nekončí. V najväčšej redukcii máme konštantný mediálny cyklus, ktorý redukuje výučbu a učenie sa matematiky na testovanie skóre, a často túžime po minulosti, v ktorej boli študenti lepšie ovládaní časovými tabuľkami a číselnými faktami. Reduktívny argumentatívny krok „druhej strany“ spočíva v tom, že sa minulá výučba matematiky vytrieďuje ako tvorba „zombie“ žiakov, ktorí dokážu na testy len viac pľuvať vzorce a algoritmy.

Na jednej strane máme skutočnú alebo vnímanú stratu „základných zručností“, ktorá sa zvyčajne prejavuje v diskusii prostredníctvom okamžitého odvolania, a na druhej strane máme predstavu, že naši študenti nie sú dosť dobrí na riešenie problémov. „moderný svet“ alebo „budúcnosť“.

Za zmienku stojí, že táto rozprava je stará už niekoľko generácií.

Plus môžete zmeniť?

Cítený obraz na nasledujúcom obrázku bol uverejnený v roku 1991. O generáciu neskôr a zdá sa, že sme stále uviaznutí, kolesá v bahne tej istej rozpravy.

Výučba a učenie sa matematiky pokročilo mnohými spôsobmi od roku 1989, keď začala reforma NCTM. V mnohých ohľadoch to tiež pokročilo od šesťdesiatych rokov minulého storočia, keď sa vyskúšali (a nakoniec opustili) prvé učebné osnovy „Nová matematika“. Zdá sa, že dôslednou cestou drotárstva alebo dokonca neúspešnej reformy je neustále zdokonaľovanie vyučovacej praxe. To znamená, že zlepšovanie učebných osnov a praxe je jemné, ale stále. Samotné učenie je iteračným umením. Polarizujúce dichotómie sú pre politikov, nie pre učiteľov.

Učitelia najlepšie vyučujú. Je to ich umenie a remeslo. Zjednodušene povedané: stelesnené znalosti matematiky a jej výučby sa neustále vyvíjajú a aktualizujú, keďže noví učitelia vstupujú do povolania a starší ju opustia. Existuje konštantná a stabilná miera zmeny, aj keď pomalá. Čas sa posunie vpred a rovnako to urobíme my.

Výskum však môže informovať výučbu. Tento článok je pokusom ukázať cestu vpred k budúcim typom výskumu, ktorý môže informovať učiteľov o praktickom vyučovaní matematiky.

Falošná dichotómia?

Zaujímavý článok H. Wu (1999) charakterizuje debaty o základných schopnostiach a koncepčnom porozumení ako „falošná dichotómia“.

Tento bod pomôže zdĺhavá ponuka:

Vo vyučovaní matematiky má táto debata podobu „základných zručností alebo koncepčného porozumenia“. Zdá sa, že táto falošná dichotómia vyplýva z bežného mylného chápania matematiky zo strany verejnosti a vzdelávacej komunity: že dopyt po presnosti a plynulosti pri vykonávaní základných zručností v školskej matematike je v rozpore so získaním koncepčného porozumenia. Pravdou je, že v matematike sú zručnosti a porozumenie úplne vzájomne prepojené. Vo väčšine prípadov sú presnosť a plynulosť vykonávania zručností nevyhnutnými prostriedkami na sprostredkovanie pojmového porozumenia. Neexistuje „koncepčné porozumenie“ a „zručnosť pri riešení problémov“ na jednej strane a „základné zručnosti“ na strane druhej.

Autor jednoznačne spochybňuje mýtus, všadeprítomný, že koncepčné porozumenie * musí * byť na prvom mieste. Zoberme si, že procedurálne porozumenie (to, čo by sme mohli volať „základné“ zručnosti), aj koncepčné porozumenie sú vzájomne prepletené alebo vzájomne prepletené - ako v silnom provaze lana, kde sú oba pramene hladko tkané dohromady.

Som presvedčený, že pedagógovia, výskumníci a tí, ktorí píšu články pre noviny, musia upustiť od presvedčenia, že jeden musí predchádzať druhému. Budúce výskumné štúdie by mohli otestovať nadobudnutie toho, čo by sme mohli vo všeobecnosti nazvať „procedurálna podmienka“ a „koncepčná podmienka“.

Uveďme zdanlivo jednoduchý príklad výučby Pythagorovho vzťahu.

Zvážte dve skupiny študentov, ktorí idú nasledujúcimi dvoma inštruktážnymi cestami.

Inštruktážna cesta jedna

  1. Zapíšte si vzorec na tabuľu. Vysvetlite, ako tento vzorec funguje.
  2. Dajte študentom prácu. Ukážte im, ako postupovať pri riešení prepony.
  3. Vymieňajte si otázky tak, že študenti vyriešia každú nohu.
  4. Riešiť mylné predstavy a problémy.
  5. Dajte študentom zložitejšie problémy a vyhodnoťte ich podľa ich porozumenia.

Inštruktážna cesta dva

  1. Ukážte študentom geometrický dôkaz vety. Nechajte ich pripevniť štvorce k bokom pravouhlých trojuholníkov. Preskúmajte vzťah, ktorý nájdete.
  2. Preložiť svoje zistenia do algebry. „Obrázok“ vytvorený geometrickým znázornením je preložený do algebraickej formy.
  3. Ukážte študentom, ako pracovať so vzorcom. Dajte im otázky na precvičenie.

4. Dajte študentom zložitejšie problémy a vyhodnoťte ich podľa ich porozumenia.

Podstatným rozdielom je geometrický prvok v druhej ceste. Tento prvok by sa však mohol prepracovať na prvú inštruktážnu cestu, možno neskôr.

Môžete sa sami rozhodnúť, kam bude nasledovať nasledujúci pokyn. Na začiatok? Pri skúmaní vety? Alebo na záver, ako spôsob, ako prinútiť študentov myslieť potom, čo zvládli algebru?

Naša výskumná otázka by mohla byť: porozumejú obidve tieto skupiny študentov pythagorovskému vzťahu rovnakým spôsobom a do rovnakej hĺbky? Ak dokážeme z našej výskumnej štúdie vyvodiť pevný záver, potom by sme mohli zostúpiť na procedurálnu alebo koncepčnú stránku, a ak nie, potom by sme mohli dospieť k záveru, že koncový bod oboch skupín je približne rovnaký. Za zmienku stojí: obe cesty majú to, čo by sa nazýva procedurálne a koncepčné prvky. Medzi nimi je skutočný tam a späť.

Pozadie alebo opakovanie medzi procedurálnym a koncepčným porozumením

Ak ideme tam a späť a tam a späť medzi procedurálnym a koncepčným porozumením v určitom časovom období výučby, potom medzi týmito dvoma kategóriami neexistujú žiadne tvrdé a rýchle prekážky.

Príspevok od Rittle-Johnson, Siegler a Alibali (2001) je užitočným bodom tohto bodu a možno ukazuje cestu vpred pre budúci výskum. Poznamenávajú, že zvyčajne vidíme jeden „druh“ vedomostí ako precedens k druhému. Autori sa domnievajú, že to tak nemusí byť a že je zbytočné:

Na rozdiel od tohto minulého výskumu a teórie navrhujeme, aby sa v priebehu vývoja navzájom ovplyvňovali koncepčné a procedurálne znalosti. Konkrétne navrhujeme, aby sa koncepčné a procedurálne vedomosti rozvíjali iteratívne, pričom nárast jedného typu vedomostí vedie k zvýšeniu druhého typu vedomostí, ktoré spôsobia nové zvýšenie v prvom.

Dizajn štúdie (v dvoch častiach, n = 74 a n = 59) bol taký, že študenti umiestnili desatinné zlomky (desatinné miesta pod 1) na číselný riadok. Túto úlohu charakterizovali ako procedurálnu. Ich závery boli také, že procesné znalosti boli informatívne o koncepčných znalostiach a naopak. Najviac vzrušujúco sa zdá, že obidve podporujú lepšiu reprezentáciu problémov.

Zastúpenie je uzákonenie myslenia; študenti musia mať spôsob, ako premýšľať o matematických koncepciách. Naším cieľom je viac než len dokázať vykonať postup alebo len premýšľať všeobecne o matematických konceptoch. Je potrebné, aby sa tieto koncepcie stali súčasťou sveta. Ako autori poznamenávajú, znalosť domény obsahuje zručnosti aj koncepty.

Štúdia poukazuje na myšlienku, že zastúpenie je komplexné. Napríklad je možné uvažovať o postupe, ktorý môže a mal by byť vysvetlený a znázornený. Napríklad zaobchádzanie s procedúrou ako s úplne samostatnou „vecou“ od konceptu je pravdepodobne zlá vec. Štandardný algoritmus pre multiplikáciu je viazaný na pojmy miestna hodnota a branie čiastkových produktov, ktoré sa potom spočítajú. Nie je dôvod, aby výučba tohto postupu nemohla byť iteratívnym procesným konceptom a zručnosťou spojenou s tým, čo nazývame „učenie sa algoritmu“.

Budúce štúdie tohto druhu by sa mohli usilovať o ďalšie skúmanie toho, ako k tejto iterácii dochádza. Ako postupy a koncepty spolupracujú, nie proti sebe? Začatie by bolo uznať, že nemusia navzájom pôsobiť a že môžu a musia navzájom spolupracovať.

Ako postupy a koncepty spolupracujú pri vytváraní matematického porozumenia?

Iba najodpornejší dichotomista by v tomto okamihu odmietol uznať, že existujú spoločné dôvody. Z tohto spoločného dôvodu bude jedného dňa podpísané prímerie „Math Wars“. Alebo aspoň budeme mať lepší a väčší výskum, ktorý ukazuje, že je dokonca možné stretnúť sa na spoločnom základe.

Referencie:

Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Rozvíjanie konceptuálneho porozumenia a procedurálnych zručností v matematike: iteračný proces. Journal of Educational Psychology, 93 (2), 346 - 362.

http://dx.doi.org/10.1037/0022-0663.93.2.346

Wu, H. Základné zručnosti verzus koncepčné porozumenie. Bogusova dichotómia vo výučbe matematiky. Americký pedagóg, v23 n3, p14–19,50–52, jeseň 1999

https://math.berkeley.edu/~wu/wu1999.pdf